收敛准则(又称柯西极限存在准则),是用来判断某个式子是否收敛的充要条件(不限于数列),主要应用在以下方面:数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数每个方面都对应一个柯西准则,因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。 反常积分:反常积分分为两种,一种是积分区间含有无穷大的反常积分(又叫做无穷限的...
柯西收敛准则(Cauchy Convergence Criterion),又称柯西极限存在准则或柯西收敛原理,是数学分析中的一个重要概念,
首先,根据柯西收敛准则的定义,我们可以推导出数列是有界的,即存在一个常数M,使得对于所有的n,有,an,<= M。其次,通过等式推导和不等式性质,我们可以得到:,an - am, <= ,an - an+1, + ,an+1 - an+2, + ... + ,am-1 - am。由于an满足柯西收敛准则,所以取n > N时,保证,an - am,小于给定...
柯西收敛准则的条件称为柯西条件。 其直观意义:收敛数列各项的值愈到后面,彼此愈是接近,以至充分到后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。或者形象地说,收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。 优点:柯西收敛准则把—N定义中an与a的关系换成了an与am的关系,其好处在于无需借助数列以外的数...
柯西收敛准则(Cauchy Convergence Criterion),又称柯西极限存在准则或柯西收敛原理,是数学中用来判断某个式子(尤其是数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数等)是否收敛的充要条件。以下是柯西收敛准则在不同数学对象上的具体表述: 一、数列的柯西收敛准则 对于数列{an},其收敛的充分...
+−≤<ε。故由定理10.1柯西收敛准则可知 n ++++ 111 存在。 lim1 n→∞n 23 222 证毕。 ∈有 + 111 =++++,证明数列{} 例子10.3.设x1x发散。 nn 23n 证明:利用定理10.1柯西收敛准则,我们只需找到一个正数ε,使得对 任意正整数N,我们均可以找到n>N及找到一个正整数p,使得 || x+−x≥ε ...
第十讲、柯西收敛准则 定理10.1 . （柯西收敛准则）数列{}n x 极限存在的充要条件是:对于 0ε∀>存在正数 N , 使当n N >时, 对于一切p +∈ 有||n p n x x ε+−< 注记10.1. （I ）柯西准则的意义是：数列{}n x 是否有极限可以根据其一 般项的特性得出，而不必事先知晓其极限的...
柯西收敛准则是判断函数极限存在与否的一种方法,它通过定义了一个收敛准则来判断函数是否趋于某个极限值。本文将深入探讨函数极限的柯西收敛准则,并详细介绍其定义、性质和应用。 一、柯西收敛准则的定义 柯西收敛准则是由法国数学家柯西(Augustin-Louis Cauchy)提出的,它给出了一种判断函数极限存在的准则。在数学中,...
根据数列的柯西收敛准则，数列{f(xn)}的极限存在，记为：lim( n→∞) f(xn )=A.同理数列{yn}⊂U⁰(x0;δ’)且lim( n→∞) yn=x0，则记lim( n→∞) f(yn )=B.对于数列{zn}: x1,y1,x2,y2…,xn,yn,…，可见 {zn}⊂U⁰(x0;δ’)且lim( n→∞) zn=x0，∴数列{zn}的...
柯西收敛原则：柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是:该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。 ++++++++ 正确...