这就完成了证明。 方法三:用定理4证明柯西收敛准则 证明:必要性是显然的。 下面只证充分性。根据条件,对ε=1,存在n0,当n,m> n0时,有| xn– xm| <1。于是| xn| | xn– xn0+1|+| xn0+1|<1+| xn0+1|。令M=max{| x1|,x2,…,| xn0|,1+| xn0+1|},则| xn| M(n=1,2,…),故...
【题目】试用聚点定理证明柯西收敛准则。 答案 【解析】证明:1,令{An}为收敛数列,则其必有极限令{An}极限为M,故存在正整数N;当 nmN 时有|An-M|2 ,若{An}中至多含有有限个不同的点则从某项起{An}含有无限多个相同的点即{An}为常数列,否则{An}不满足柯西条件;若{An}中含有无限多个各不相同的点则根...
这证明了对于任意的ε>0,存在一个正整数N,使得当n>N和n>N+K时,An-Am,<ε成立。这就证明了序列{An}收敛。 至此,我们证明了柯西收敛准则,即对于一个实数序列{An},如果对于任意的ε>0,存在一个正整数N,使得当n>N和n>N+K时,An-Am,<ε成立,则该序列是收敛的。©...
柯西收敛准则的证明 (戴金德基本定理)：将实数域任意分割成两个非空集A,A-.设集A中任一元素小于集A-的每一元素，则必产生实数β，使β是下组的最大值或上组的最小值.A A- β (柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件：∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε.证：[必要性]设{an}...
根据数列的柯西收敛准则，数列{f(xn)}的极限存在，记为：lim( n→∞) f(xn )=A.同理数列{yn}⊂U⁰(x0;δ’)且lim( n→∞) yn=x0，则记lim( n→∞) f(yn )=B.对于数列{zn}: x1,y1,x2,y2…,xn,yn,…，可见 {zn}⊂U⁰(x0;δ’)且lim( n→∞) zn=x0，∴数列{zn}的...
试用聚点定理证明柯西收敛准则。 相关知识点: 试题来源: 解析 柯西收敛准则:数列{α n }收敛的充要条件是任给ε>0存在N∈N + 任意nm≥N有|α n -α m |<ε(称为柯西条件)。 充分性:若{x n }收敛设收敛点为A则由极限定义任给ε>0存在N∈N + 当n>N时|α n -A|<ε/2于是当nm>N时|α m...
然而比较常规的证明方法，还是用实数的完备性定理，比如区间套的理论来证明。数列柯西准则是针对数列收敛的...
证(1)必要性假设数列{xn}收敛且极限等于a,则由极限定义知 0, , =+lxp-al2 从而xn-xmI= ( xn-a) -( * m - a)Islxn-al+*m-al2+2=这表明对任何n≥N及任何m≥N,有xn-xne(2)充分性设{xn}是基本数列,我们证明{xn}有有限极限.根据基本数列的定义得Ve0,3n,使得Vn≥n,Vm≥n1xn-xn1因基本...
【解析】必要性由数列的收敛性容易推出,下面应用上下极限证明充分性设数列{x,|满足柯西收敛准则的条件,易证{xn}为有界数列.设α=lim_(x→∞)x_n ,β=((AM))/(n(AM)) .对任意的 ε0 ,存在无限多项 x_n_k(k=1,2,⋯) ,使 x_(2k)β-ε 由已知条件,存在 N0 ,对任意的m nN ,有|x_n-x...
柯西收敛准则充分性的两种证明法 一、证明法一:有界性 该方法是以有界性的条件来证明收敛准则,即对应的序列可以取到一些有限正值。换句话,就是证明该序列的每一项都可以取到一些有限正值,从而证明序列收敛,而非指数级增长。 假设有序列$\{a_{n}\}$,假定$\forall n>N_{0}$,$a_{n}\ge 0$,且有$M=\...