8. 多重积分的变分问题 1. 起源 1696年约翰·伯努利提出最速降线问题:设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连接A和B的平面曲线中,求出一条曲线,使仅受重力作用且初速度为零的质点从A点到B点沿这条曲线运动时所需时间最短。 最速降线示意图(图片来自网络) 我们知道,用微积分的方法,时间可以...
变分原理是求解泛函极值问题的关键。许多物理问题,如最速降线问题、悬链线问题等,本质上都是求泛函的极值问题。变分原理的推导基于一个核心思想:泛函的极值对应于函数的变分为零。以一个典型的泛函F[y]为例,我们考虑函数y(x)的一个微小变化δy,称为变分。泛函的变分δF可以表示为:通过泰勒展开并保留一阶项...
经过变化δy(x)后,对应的函数f(y,y′)变化了: (2)δf=∂f∂yδy+∂f∂y′δy′ 则对于泛函的变分 (3)δI=∫ab[∂f∂yδy+∂f∂y′δy′]dx=∫ab[∂f∂yδy+∂f∂y′·d(δy)dx]dx=∫ab(∂f∂yδy)dx+∫ab∂f∂y′d(δy)=∫ab(∂f∂yδy)dx...
- 微扰思想的拓展:多元函数中的微小变化(偏导数)与变分问题中的函数微扰(变分)都是寻找极值的核心策略,体现了从有限维到无限维的自然延伸。 - 求解方法的类比:费马引理与欧拉-拉格朗日方程分别在有限维和无限维空间中指导我们如何寻找极值,两者均通过设定变化率为零的条件来实现目标。
若泛函增量可以写成函数变分的线性泛函及其高阶无穷小项的两部分加和,则称泛函对函数x可微,且其中的线性泛函就是泛函变分。 2、泛函极值的必要条件 驻点条件:泛函变分为0(反证法,前提是定义域是开集) 适用场景:控制变量可在全空间中任意取值没有约束,容许控制为连续函数全体。
那么,F的变分: 对积分的第二项进行分部积分: 所以, 那么,F取到极值,即δF为0,也就是 (事实上这被称为拉格朗日方程,后文还会提到) 回到最速降线问题,这里 代入拉格朗日方程,得到...(公式有点长,手写一个吧) 展开运算过程 再利用 ,积分一次,可以得到 ...
泛函变分 极值与变分 总结 变分法是泛函极值的一个重要方法,也是自学数学类研究中的入门方法,它有非常好的性质,比如可以求设备运转的最大经济效益,最速下降曲线、最小旋转曲面等常规高等数学很难做到的问题。从它的推导过程其实可以看到都是紧扣定义,由未知走向已知,最后归结为求微分方程或微分方程组的问题,不得不...
1、第一章变分原理与变分法1.1关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则)一、大自然总是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理:昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体;对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称 /相似原理;对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,嫡增原理等。变分...
是一个意思。问:什么是变分?简单来说,变分是求泛函极值的方法,相当于普通函数的求导(微分)。问:...