一个把向量映射到非负实数的函数如果满足简介中描述的性质,就叫做一个半范数;如果只有零向量的函数值是零,那么叫做范数。拥有一个范数的向量空间叫做赋范向量空间,拥有半范数的叫做半赋范向量空间。 基本信息 中文名称 赋范向量空间 名词类型 数学专业术语 ...
首先规范向量空间的一些用词: 紧接着介绍seminorm,其满足三角不等式和标量乘性质: 如果seminorm只有零元素的值为0,那么这样的seminorm可以被称为norm,即范数。有范数结构的向量空间被称为赋范向量空间或者赋范线性空间。 范数诱导出相对应的度量和范数拓扑,还介绍了范数的等价概念: 完备的赋范空间——Banach空间:...
赋范向量空间是指一个向量空间在其上定义了一个范数的情况下所构成的空间。范数是一种度量向量长度的函数,它具有非负性、齐次性和三角不等式等性质。将范数引入向量空间后,向量空间就具有了度量性质。 在赋范向量空间中,范数被用来度量向量的长度,类似于欧几里得空间中的距离。不同的范数可以导致不同的度量方式,因...
定义2 赋范向量空间 结论 定义3 单位向量 三角不等式 命题1 三角不等式 与范结合的距离 定义4 与范结合的距离 命题2 定义5 距离 在这个大标题下, K 代表体 R 或C 。考察的向量空间都是实向量空间或复向量空间。 一、概述 定义 定义1 范数 给定K-向量空间 E 。一个由 E 到R+ 中的映射 N 有以下性...
2. 范数和线性赋范空间 范数常常被用来度量某个向量空间(或矩阵)中的每个向量的长度或大小 定义:设 是域 (实数域或复数域)上的线性空间,函数 满足条件: ① (正定性)对 ;且 当且仅当 ; ② (齐次性)对 ,有 ; ③ (三角不等式)对 ,有 。
在赋范向量空间中,我们还可以定义一些其他的概念和运算。例如,我们可以定义向量的收敛性,即一个向量序列是否收敛到另一个向量。我们可以定义向量的连续性,即一个向量函数在某个点是否连续。我们可以定义向量的Cauchy序列,即一个向量序列是否满足Cauchy收敛准则。
赋范空间与向量空间的主要区别在于赋范空间引入了距离的概念，使得空间中的向量具有了长度和距离，从而具备了度量性质。在赋范空间中，可以定义向量之间的距离，从而进行更深入的数学分析和应用。从二维空间扩展到n维空间，赋范空间的定义保持不变，只是向量的维度从二维扩展到了n维，其赋范的计算也更为...
赋范线性空间首先是一个线性空间。线性空间只是规定了向量之间必须满足的一些运算特点（加法和数乘），没...
根据内积可以定义一个范数: 从而成为一个赋范向量空间。范数可以用于定义一个度量从而成为一个度量空间。如果这样的空间在这个度量下是完备的,那么这个空间叫做Hilbert Space 。简单地来说 算子 把上面的空间推广到一般空间,可以是向量空间。赋范向量空间,内积空间,或更进一步,Banach空间,Hilbert空间都可以。算子还可...