证明 设 S 为非空有上界的数集。由实数的阿基米德性,对任何正数 a ,存在整数 使得 λ a =k a a 为 S 的上界,而λ a - a =(k a -1) a 不是 S 的上界,即存在 a ' ,使得 a '>(k a -1) a ,分别取 a =1/n,n=1,2,..., 则对每一个正整数 n ,存在相应的 λ n , λ n 为 ...
从λ_m-λ_n1max(1/m,1/n) 于是,对任给的 ε0 存在 N0 ,使得当m,nN时有|λ_m-λ_n|ε 由柯西收敛准则,数列{入收敛.记lim_(n→∞)λ_n=λ (7)现在证明λ就是S的上确界.首先,对任何a∈S和正整数n有 a≤λ ,由(7)式得 a≤λ ,即λ是S的一个上界.其次,对任何 δ0 ,由 1/n→0...
确界原理在实数完备性的证明中起着重要的作用,它表明在实数系统中,有界数列必然收敛。这一结果对于分析学的发展具有重要意义,它确保了实数系统的完备性,使我们能够进行收敛性的讨论和推导。 总结起来,通过使用柯西收敛准则,我们可以证明确界原理。确界原理是实数完备性的一个重要结果,它表明一个有界数列必然有收敛的子...
如何用柯西收敛准则证明确界原理 1.首先,让我们考虑一个数列{a_n},假设它是一个有上界的数列。 2.我们借助确界原理来证明这个数列必然存在一个上确界。 3.根据确界原理,我们需要证明数列的上确界是存在的、唯一的。 4.为了证明数列的上确界存在,我们需要使用柯西收敛准则。
华东师范大学版数学分析在用柯西收敛准则证明确界原理时,由阿基米德性质直接得到结论:对任何正数α,存在整数ka,使得λa=kaα是S的上界,而()(λa−1)α不是S的上界。证明过程未给出,以下补充该结论的证明。 设S是非空有界数集, M是集合S的一个上界,a∈S,由阿基米德性质可知, 对任意正数α,存在整数m使得 ...
它指出,如果一个序列是柯西收敛的,那么它一定是收敛的。在本文中,我们将探讨柯西收敛准则背后的确界原理证明。 一、确界原理的定义和性质 1.1 定义 确界原理是基于实数系统的一项基本原理,它指出:一个非空有上界的实数集合必定存在一个最小上界,称为这个集合的上确界;同样,一个非空有下界的实数集合必定存在一个最...
本文以确界原理为基础,详细证明了柯西收敛准则。我们首先介绍了确界原理的概念,然后利用引理1证明了柯西收敛准则中的有界性条件,最后通过证明 ${a_n}$ 是单调递增或单调递减的来得到其收敛性。柯西收敛准则是数列收敛的一个重要准则,其证明过程涉及到数学分析中的多个基本定理和技巧,对于提高数学分析的理解和掌握具有...
你要是想知道一个序列的收敛性,柯西准则告诉你看“朋友们之间的距离”,而极界原理则提醒你关注“圈子里的活动范围”。这两者结合,就像一把钥匙,能打开更深的数学大门。 话说回来,学习这些理论时,可能一开始会有点晕头转向,但别忘了,慢慢来,不急。你可以把它们看作拼图,拼的过程虽然有点折磨,但完成后的那一...
于是任给ε＞0，当n＞max｛N，N'｝时，总有|xn-a|＜ε，这就证明柯西序列必定是收敛的。
②由于满足Cauchy收敛准则充分条件的数列是有界的，故知数列｛xn｝的下界ａ∈Ｓ，上 界ｂ也是Ｓ 的上界...